随机变量
设\(S=\{e\}\)为随机试验\(E\)的样本空间，如果对于每一个\(e\in S\)，都有一个实数\(X(e)\)与之对应，这样就得到一个定义在\(S\)上的实值单值函数\(X(e)\)，称\(X(e)\)为定义在\(S\)上的一个随机变量（random variable），简记为\(X\)。\(X\)的可能取值可写成\(x_1,x_2, x_3, \cdots,x_k, \cdots\)。
简单地讲，随机变量可以看作是一个函数映射，它将样本空间中可能的结果映射到实数域。例如，当我们在计算抛一枚硬币正面朝上的概率时，我们的采样空间为\(S=\{正,反\}\) ，由于“正”和“反”难以用于计算，因此我们可以使用随机变量将其映射为实数，即：
\[\begin{align} X(反)=0 \\ X(正)=1 \end{align}\]可数与不可数
假如我们可以使用某种算法来列出一个集合中的所有元素，那么我们就称该集合可数（countable），反之称之为不可数（uncountable）。
例如自然数集合\(N=\{1,2,3,\dots\}\)，我们可以迭代地做\(+1\)运算来列出集合中的每一个元素，因此自然数集合\(N\)是可数的。
而对于区间\([0.1]\) 上的实数集是不可数的，我们可以使用反证法来证明。假设区间[0,1]上的实数集是可数的，那么一个列表将所有的元素枚举出来，例如：
\[\begin{align} 0.1354295\dots\\ 0.4294726\dots\\ 0.3916831\dots\\ 0.9873435\dots\\ 0.2918136\dots\\ 0.3716182\dots\\ \vdots \end{align}\]我们取以上列表中的对角线元素组成一个新的数\(a=0.121318\dots\)，然后将\(a\)中所有的小数位\(+1\)得到\(a'=0.232429\dots\)。可以看到\(a\)与\(a'\)都在集合\([0,1]\)中，然而我们无法通过上述列表中除\(a'\)以外的元素来还原出\(a'\)，即使是\(a\)也不行。因为即使我们将\(a\)中的前\(n\)位小数\(+1\)，\(a'\)的第\(n+1\)位以后小数也都与\(a\)的第\(n+1\)位以后的小数不同。因此我们永远也无法根据\(a\)来得到\(a'\)，所以说区间\([0,1]\)上的实数集是不可数的。
需要注意的一点是，无穷并不代表不可数，例如自然数集中具有无穷个元素，但它是可数的。
离散型随机变量
如果一个随机变量\(X\)的全部可能取值为有限个或者可列多个（即可数的），则称\(X\)为离散型随机变量（discrete randomvariable）。
离散型随机变量的概率分布可用概率质量函数(probability mass function, PMF)来描述，即：
\[\begin{align} P(X=x_k)=p_k,\quad k=1, 2,\cdots \end{align}\]如果一个函数\(P\)是随机变量\(X\)的PMF，必须满足下面几个条件：
-
\(P\)的定义域必须是\(X\)所有可能状态的集合；
-
\(\forall x\in X,0\leqslant P(x)\leqslant 1\)；
-
\(\sum_{x\in X}P(x)=1\)。
期望：
\[\begin{align} E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}x_kP(X=x_k) \end{align}\]方差：
\[\begin{align} D(X) & = \sum_{0}^{\infty}[x_k-E(X)]^2P(X=x_k)\\ &=E[X-E(X)]^2 \\ &=E[X^2-2XE(X)+[E(X)]^2] \\ &=E[X^2]-2E(X)E(X)+[E(X)]^2\\ &=E[X^2]-[E(X)]^2\\ \end{align}\]连续型随机变量
如果一个随机变量\(X\)的全部可能取值为不可数的，则称\(X\)为连续型随机变量（continuous random variable），这类随机变量的值域是一个区间（或几个区间的并）。
设连续型随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)\)，如果存在非负函数\(f(x)\)，使得对任意实数\(x\)，有：
\[\begin{align} F(X)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx \end{align}\]其中\(f(x)\)为\(X\)的概率密度函数（probability density function）。
如果一个函数\(f(x)\)是\(X\)的概率密度函数，必须满足下面几个条件：
- \(f(x)\)的值域必须是\(X\)的所有可能状态的集合；
- \(\forall x\in X,f(x)\geqslant0\);
- \(\int f(x)dx=1\);
期望：
\[\begin{align} E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx \end{align}\]方差：
\[\begin{align} D(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx\\ &=E[X-E(X)]^2 \\ &=E[X^2-2XE(X)+[E(X)]^2] \\ &=E[X^2]-2E(X)E(X)+[E(X)]^2\\ &=E[X^2]-[E(X)]^2\\ \end{align}\]常见的离散型随机变量的分布
两点分布（Bernoulli distribution）
| \(X\) | \(1\) | \(0\) |
|---|---|---|
| \(P\) | \(p\) | \(1-p\) |
若随机变量\(X\)的所以有可能取值为0与1，且它的分布律为
\[\begin{align} P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0, 1\quad(0\lt p\lt 1) \end{align}\]则有期望：
\[E(X)=1\cdot p+0\cdot q=p\]方差：
\[\begin{align} D(X) & = E[X^2]-[E(X)]^2\\ &=1^2\cdot p+0^2\cdot (1-p)-p^2\\ &=p-p^2\\ &=p(1-p) \end{align}\]二项分布（Binomial distribution）
| \(X\) | 0 | 1 | 2 | \(\cdots\) | \(n\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(C^{0}_{n}p^0(1-p)^{n}\) | \(C^{1}_{n}p^1(1-p)^{n-1}\) | \(C^{2}_{n}p^2(1-p)^{n-2}\) | \(\cdots\) | \(C^{n}_{n}p^n(1-p)^{0}\) |
若随机变量\(X\)的所有可能取值为\(0, 1, 2, \cdots, n\) ，且它的分布律为
\[\begin{align} P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0, 1, 2,\cdots,n\quad (0\lt p\lt 1) \end{align}\]则称随机变量\(X\)服从参数为\(n,p\) 的二项分布，记为\(X\sim B(n,p)\)
在\(n\)重伯努利试验中，以\(X\)表示事件\(A\)发生的次数，它的可能取值为\(1, 2, 3, \cdots , n\)，且由二项概率公式有：
\[\begin{align} P(X=k)=P_n(k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},\quad k=0, 1, 2,\cdots,n \end{align}\]即\(X\sim B(n,p)\)。因此，我们常用二项分布来描述可重复进行独立试验的随机现象。
方法一： 由于\((X=k)\)相互独立且均服从参数为\(p\)的\(0-1\)分布，故期望为：
\[\begin{align} E(X)=\sum^{n}_{k=1}E(X=k)=np \end{align}\]其方差为：
\[\begin{align} D(X)=\sum^{n}_{i=1}D(X=k)=np(1-p) \end{align}\]方法二：
预备知识:
\[\begin{align} (a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i}a^nb^{n-i} \end{align}\]期望为：
\[\begin{align} E(X)&=\sum_{k=0}^{n}kC_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\frac{n(n-1)!}{k!(n-k)!}pp^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}k\frac{np(n-1)!}{k!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ &=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}\\ &=np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\ &=np\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\ &=np(p+1-p)^{n-1}\\ &=np \end{align}\]方差为：
\[\begin{align} D(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=E(X^2)-n^2p^2 \end{align}\]其中：
| \(X\) | 0 | 1 | 4 | \(\cdots\) | \(n^2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| P | \(C^{0}_{n}p^0(1-p)^{n}\) | \(C^{1}_{n}p^1(1-p)^{n-1}\) | \(C^{2}_{n}p^2(1-p)^{n-2}\) | \(\cdots\) | \(C^{n}_{n}p^n(1-p)^{0}\) |
故方差：
\[\begin{align} D(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=E(X^2)-n^2p^2\\ &=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\\ &=np-np^2\\ &=np(1-p) \end{align}\]负二项分布
| \(X\) | \(r\) | \(r+1\) | \(r+2\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(C^{r}_{r}p^r(1-p)^{0}\) | \(C^{r}_{r+1}p^r(1-p)^{1}\) | \(C^{r}_{r+2}p^r(1-p)^{2}\) | \(\cdots\) |
对于一系列独立的成败实验，每次实验成功的概率恒为\(p\)，持续实验直到\(r\)次成功（\(r\)为正整数），则总实验次数\(X\)的概率为：
\[\begin{align} P(X=x;r,p)=C_{x}^{r}p^r(1-p)^{x-r},\quad x\in [r, r+1, r+2,\cdots ,\infty) \end{align}\]由于第\(r\)次实验必定成功，故上式可以写为：
\[\begin{align} P(X=x;r,p)=C_{x-1}^{r-1}p^r(1-p)^{x-r},\quad x\in [r, r+1, r+2,\cdots ,\infty) \end{align}\]若记\(X=k\)为失败次数，则：
\[P(X=k;r,p)=C_{k+r-1}^{r-1}p^{r}(1-p)^{k},\quad k\in [0, 1, 2, \cdots, \infty)\]泊松分布（Poisson distribution）
若随机变量\(X\)的所有可能取值为一切非负整数，且它的分布律为：
\[\begin{align} P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \cdots, \infty \quad \lambda\gt0 \end{align}\]则称\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，记为\(X\sim \pi(\lambda)\)
预备知识—Taylor展示：
\[\begin{align} f(x)&=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R^n(x)\\ e^x&=\frac{e^0}{0!}+\frac{e^0}{1!}(x-0)+\frac{e^0}{2!}(x-0)^2+\cdots+\frac{e^0}{n!}(x-0)^n+R^n(x) \\ &=0+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+R^n(x)\\ &=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+R^n(x)\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}+R^n(x)\\ 1&=xe^{-x}+\frac{x^2}{2!}e^{-x}+\cdots+\frac{x^n}{n!}e^{-x}+R^n(x)e^{-x}\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}e^{-x}+R^n(x)e^{-x} \end{align}\]则其期望为：
\[\begin{align} E(X)&=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^{k-1}}{k!}\\ &=\lambda e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\\ &=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}\\ &=\lambda \end{align}\]其方差为：
\[\begin{align} D(X)&=E(X^2)-[E(X)]^2\\ &=E(X^2)-\lambda^2\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}-\lambda^2\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}-\lambda^2\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda\sum_{k=1}^{\infty}(k-1)\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda^2\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}e^{-\lambda}+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda^2+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda \end{align}\]故泊松分布的期望与方差都等于参数\(\lambda\)
泊松分布与二项分布的关系：
若\(X\sim B(n,p)\)，当\(n\)比较大而\(p\)又很小时，二项分布近似泊松分布，即：
\[\begin{align} P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \cdots \end{align}\]其中，\(\lambda=np\) 。
证明 设随机变量\(X_n\sim B(n, p_n)\)，且\(\lim_{x \to \infty}np_n=\lambda\)，其中\(\lambda \gt 0\)为常量，则记\(np_n=\lambda_n\)，即\(p_n=\frac{\lambda_n}{n}\)，得：
\(\begin{align}
C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}&=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda_n}{n})^k(\frac{n-\lambda_n}{n})^{n-k}\\
&=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\frac{\lambda_n^k}{k!}(1-\frac{\lambda_n}{n})^n(1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}\\
&=[1\cdot(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})]\frac{\lambda_n^k}{k!}(1-\frac{\lambda_n}{n})^n(1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}
\end{align}\)
其中
\[\begin{align} &\lim_{n\to \infty}\lambda_n^k=\lambda_k, &\lim_{n \to\infty}(1-\frac{\lambda_n}{n})^n=\lim_{n\to \infty}(1-\frac{\lambda_n}{n})^{-\frac{\lambda_n}{n}\cdot(-\lambda_n)}=e^{-\lambda},\\ &\lim_{n\to \infty}(1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}=1, &\lim_{n \to\infty}[1\cdot(1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n})]=1. \end{align}\]故
\[\lim_{n\to \infty}P(X_n=k)=\lim_{n\to \infty}C_n^kp^k(1-p)^{n-k}= \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \cdots\]常见的连续型随机变量的分布
均匀分布（Uniform Distribution）
若随机变量\(X\)满足的概率密度函数为：
\[\begin{align} f(x)=F'(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a},&a\lt x\lt b,\\ 0,&\text{其他.} \end{cases} \end{align}\]则称\(X\)在\((a,b)\)上服从均匀分布(uniform distribution)，记为\(X\sim U(a, b)\) 。
期望：
\[\begin{align} E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\ &=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}xdx\\ &=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^2}{2}\bigg| _{a}^{b}\\ &=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(b-a)(b+a)}{2}\\ &=\frac{a+b}{2} \end{align}\]方差：
\[\begin{align} D(x)&=E(x^2)-[E(x)]^2\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x^2)dx-(\frac{a+b}{2})^2\\ &=\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}x^2dx-(\frac{a+b}{2})^2\\ &=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^3}{3}\bigg| _{a}^{b}-(\frac{a+b}{2})^2\\ &=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(b-a)(a^2+ab+b^2)}{3}-(\frac{a+b}{2})^2\\ &=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-(\frac{a+b}{2})^2\\ &=\frac{(b-a)^2}{12} \end{align}\]指数分布（Exponential Distribution）
若随机变量\(X\)的概率密度函数为：
\[\begin{align} f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\gt0,\\ 0, &x\le 0. \end{cases} \end{align}\]其中常数\(\lambda\gt 0\)，则称\(X\)服从参数为\(\lambda\)的指数分布（exponential distribution）。
期望：
\[\begin{align} E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\ &=\int_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx\\ &=-\int_0^{+\infty}xde^{-\lambda x}\\ &=-xe^{-\lambda x}\big|_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}dx\\ &=\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}dx\\ &=-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\big|_0^{+\infty}\\ &=-\frac{1}{\lambda}\cdot(0-1)\\ &=\frac{1}{\lambda} \end{align}\]方差：
\[\begin{align} D(x)&=E(x^2)-[E(x)]^2\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)dx-\frac{1}{\lambda ^2}\\ &=\int_0^{+\infty}\lambda x^2 e^{-\lambda x}dx-\frac{1}{\lambda ^2}\\ &=\int_0^{+\infty}x^2de^{-\lambda x}-\frac{1}{\lambda ^2}\\ &=-\frac{1}{\lambda}(x^2e^{-\lambda x}\big|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}dx^2)-\frac{1}{\lambda ^2}\\ &=\frac{1}{\lambda}\int_0^{+\infty}2xe^{-\lambda x}dx-\frac{1}{\lambda ^2}\\ &=\frac{1}{\lambda}\cdot \frac{2}{\lambda}-\frac{1}{\lambda ^2}\\ &=\frac{1}{\lambda ^2} \end{align}\]正态分布（Normal/Gaussian distribution）
若随机变量\(X\)的概率密度函数为：
\[\begin{align} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty \lt x\lt+\infty \end{align}\]其中\(\mu ,\sigma (\sigma \gt0)\)为常数，则称\(X\)服从参数为\(\mu, \sigma ^2\)的正太分布（normal distribution），又称高斯分布（Gauss distribution），记为\(X\sim N(\mu, \sigma^2)\)。
预备知识1：
令\(t=\frac{x-\mu}{\sigma}\)，则
\[\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx&=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\sigma t)^2}{2\sigma^2}}d(\sigma t + \mu)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ \end{align}\]令\(I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)，则
\[\begin{align} I^2&=(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx)^2\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \times \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy \end{align}\]将坐标\((x,y)\)转换为极坐标\((r, \theta)\)：
\[\begin{cases} x=r\cdot cos\theta\\ y=r\cdot sin\theta \end{cases}\]故：
\[\begin{align} I^2&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{+\infty}r\cdot e^{-\frac{r^2}{2}}dr\\ &=\frac{1}{2\pi}\theta \big|_0^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}d\frac{r^2}{2}\\ &=-e^{-\frac{r^2}{2}}\big |_0^{+\infty}\\ &=-(0-1)\\ &=1 \end{align}\]因为\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\geqslant 0\)，故\(I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1\)。
预备知识2：
令\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)，因为\(f(x)=-f(-x)\)，故\(f(x)\)为奇函数，故：
\[\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=0 \end{align}\]期望：
\[\begin{align} E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\qquad\text{令}t=\frac{x-\mu}{\sigma}\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}(\mu+\sigma t)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\sigma t)^2}{2\sigma^2}}d(\sigma t + \mu)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\mu+\sigma t)e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sigma t}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ &=\mu\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt+\sigma\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt\\ &=\mu\cdot 1+\sigma \cdot0\\ &=\mu \end{align}\]方差：
\[\begin{align} D(X)&=E([X-E(X)]^2)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}(x^2-\mu^2)\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\quad \text{令}s=\frac{x-\mu}{\sigma}\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}(s\sigma)^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(s\sigma)^2}{2\sigma^2}}d(s\sigma+\mu)\\ &=\sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty}s^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{s^2}{2}}ds\\ &=-\sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty}s\frac{1}{\sqrt{2\pi}}de^{-\frac{s^2}{2}}\\ &=-\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\cdot se^{-\frac{s^2}{2}}\bigg|_{-\infty}^{+\infty}+\sigma^2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{s^2}{2}}ds\\ &=0+\sigma^2 \cdot 1\\ &=\sigma^2 \end{align}\]总结
| 分布 | 参数 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 两点分布 | \(0\lt p\lt1\) | \(p\) | \(p(1-p)\) |
| 二项分布 | \(n \geqslant1,0\lt p\lt1\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| 泊松分布 | \(\lambda \gt0\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) |
| 均匀分布 | \(a \lt b\) | \((a+b)/2\) | \((b-a)^2/12\) |
| 指数分布 | \(0 \lt \lambda \lt 1\) | \(1/\lambda\) | \(1/\lambda^2\) |
| 正态分布 | \(\mu,\sigma \gt0\) | \(\mu\) | \(\sigma^2\) |
